Determine o valor de ∫_0^1 x e^{x^2} dx. A) (1/2)(e - 1)

Para resolver a integral \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\), podemos usar a substituição. 1. Substituição: Seja \(u = x^2\). Então, \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). Como \(x = \sqrt{u}\), temos \(dx = \frac{du}{2\sqrt{u}}\). 2. Mudança de limites: Quando \(x = 0\), \(u = 0^2 = 0\). Quando \(x = 1\), \(u = 1^2 = 1\). 3. Substituindo na integral: \[ \int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \int_0^1 e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du \] 4. Integrando: \[ \int e^u \, du = e^u \] Portanto, \[ \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^1 = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{1}{2} (e - 1) \] Assim, o valor da integral é \(\frac{1}{2} (e - 1)\). A resposta correta é A) \(\frac{1}{2}(e - 1)\).