Determine o limite lim_{x o 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}. a) 0 b) 1 c) Não existe d) Infinito

Para determinar o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} \), podemos simplificar a expressão: \[ \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} = x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \] Agora, sabemos que \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de \( x \neq 0 \). Portanto, podemos afirmar que: \[ -x \leq x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x \] Quando \( x \) se aproxima de 0, tanto \( -x \) quanto \( x \) se aproximam de 0. Assim, pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), podemos concluir que: \[ \lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \] Portanto, o limite é: a) 0.