Determine o limite lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{4x^2 + 5}. a) 0 b) 1 c) \frac{1}{2} d) \frac{1}{4}

Para determinar o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{4x^2 + 5} \), vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador. 1. O termo de maior grau no numerador é \( 2x^2 \). 2. O termo de maior grau no denominador é \( 4x^2 \). Agora, podemos simplificar a fração dividindo todos os termos pelo maior grau, que é \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{4 + \frac{5}{x^2}} \] À medida que \( x \) tende ao infinito, os termos \( \frac{3}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \) e \( \frac{5}{x^2} \) tendem a 0. Portanto, o limite se torna: \[ \frac{2 + 0 + 0}{4 + 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Assim, a resposta correta é: c) \(\frac{1}{2}\).