Para determinar se a sequência \( x_{n+1} = \varphi(x_n) = -x_n^2 + \frac{1}{4} \) converge para a raiz da função \( f(x) = x^2 + x - \frac{1}{4} \), precisamos verificar algumas condições. 1. Encontrar a raiz: Primeiro, resolvemos \( f(x) = 0 \): \[ x^2 + x - \frac{1}{4} = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 1}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2} \] As raízes são \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2} \) e \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{2}}{2} \). A raiz isolada no intervalo \([-0.5, 0.5]\) é \( x_1 \). 2. Condições de Convergência: Para que a sequência converja, precisamos que \( \varphi \) seja uma função contraída em torno da raiz. Isso significa que devemos verificar se \( |\varphi'(x)| < 1 \) no intervalo. Calculando a derivada: \[ \varphi'(x) = -2x \] Avaliando em \( x_1 \): \[ |\varphi'(x_1)| = |-2 \cdot \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}| = |1 - \sqrt{2}| \] Como \( 1 - \sqrt{2} \) é negativo e seu valor absoluto é menor que 1, a condição de contração é satisfeita. 3. Conclusão: Portanto, a sequência \( x_{n+1} = -x_n^2 + \frac{1}{4} \) converge para a raiz isolada da função \( f(x) \) no intervalo \([-0.5, 0.5]\).