Vamos analisar cada uma das afirmações: (a) Se \( f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) e \( g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) são duas funções e \( \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = 0 \), então \( \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y)g(x, y) = 0 \). Verdadeira. Justificativa: Se \( f(x,y) \) tende a 0 quando \( (x,y) \) se aproxima de \( (0,0) \), e \( g(x,y) \) é uma função limitada em um entorno de \( (0,0) \), então o produto \( f(x,y)g(x,y) \) também tende a 0. (b) Toda função contínua \( f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) é diferenciável. Falsa. Justificativa: Existem funções contínuas que não são diferenciáveis em certos pontos, como a função \( f(x,y) = |x| + |y| \) em \( (0,0) \). (c) Se \( f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) é uma função que tem todas as derivadas parciais em um ponto \( P_0 = (x_0, y_0) \), então \( f \) é diferenciável neste ponto. Falsa. Justificativa: Ter derivadas parciais não garante a diferenciabilidade. Um exemplo é a função \( f(x,y) = x^2y/(x^2+y^2) \) em \( (0,0) \). (d) A função vetorial \( \alpha : t \in [0, 2\pi] \mapsto (\sin t, 2\sqrt{2} \cos t) \in \mathbb{R}^2 \) é uma parametrização de uma elipse \( E \), que é percorrida no sentido anti-horário. Verdadeira. Justificativa: A forma \( (\sin t, 2\sqrt{2} \cos t) \) representa uma elipse, onde \( x = \sin t \) e \( y = 2\sqrt{2} \cos t \), e o parâmetro \( t \) varia de \( 0 \) a \( 2\pi \), percorrendo a elipse no sentido anti-horário. Resumindo: - (a) Verdadeira - (b) Falsa - (c) Falsa - (d) Verdadeira Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!