Determine o valor da integral ∬ , com S 2ex2 dx dy S = {(x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x} Cálculo Anhanguera

Para determinar o valor da integral dupla \(\iint_S 2e^{x^2} \, dx \, dy\) sobre a região \(S\) definida por \(0 \leq x \leq y \leq 1\) e \(0 \leq y \leq x\), primeiro precisamos entender a região de integração. A região \(S\) é um triângulo no primeiro quadrante, limitado pelas linhas \(y = x\), \(y = 0\) e \(x = 1\). 1. **Definindo os limites de integração**: - Para \(y\), os limites vão de \(0\) a \(1\). - Para \(x\), os limites vão de \(y\) a \(1\). 2. **Escrevendo a integral**: \[ \int_0^1 \int_y^1 2e^{x^2} \, dx \, dy \] 3. **Integrando em relação a \(x\)**: A integral em relação a \(x\) é: \[ \int_y^1 2e^{x^2} \, dx \] Essa integral não tem uma antiderivada elementar, mas pode ser expressa em termos da função erro ou calculada numericamente. 4. **Integrando em relação a \(y\)**: Após calcular a integral em \(x\), você integraria o resultado em relação a \(y\) de \(0\) a \(1\). 5. **Resultado final**: O valor exato da integral pode ser obtido através de métodos numéricos ou tabelas de integrais. Se precisar de mais detalhes sobre como calcular a integral em \(x\) ou sobre a função erro, é só avisar!