Questão resolvida - Determine o valor da integral S (x + 2y) dx dy, sendo S a área definida pelas retas x +y - 4 = 0, x = y e 0 x 3 - Universidade Estacio De Sa Campus Norte Shopping

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine o valor da integral , sendo S a área definida pelas retas x + 2y dxdy
S
∬ ( )
, e .x + y - 4 = 0 x = y 0 ≤ x ≤ 3
 
Resolução:
 
Primeiro, Vamos encontrar a intercessão entre as retas; 
 
Como x = y x + x - 4 = 0 2x = 4 x = x = 2→ → →
4
2
→
 
A primeira reta toca o eixo y em 4, a segunda passa pela origem, e ambas passam peloponto de
 interseção 2, 2 , com isso, podemos definir o gráfico com a região de integração 0 ≤ x ≤ 3 :( ) ( )
Vamos começar integrando por y; perceba que a região possui 2 partes, a primeira vai (no 
eixo x) de 0 a 2, e a segunda de 2 a 3. A integração em y se dá da curva de baixo até a 
curva de cima, assim, de 0 a 2, os limites de integração vão de até ; no y = x y = -x + 4
intervalo de 2 a 3 os limites de integração em y se inverte, vai de a , assim, y = -x + 4 y = x
a integral dupla fica:
 
 
 
 x + 2y dxdy = x + 2y dydx + x + 2y dydx
S
∬ ( )
2
0
∫
x
∫
-x+4
( )
3
2
∫
x
∫
-x+4
( )
 
Resolvendo; xy + dx + xy + dx
2
0
∫ 2y
2
2 -x+4
x
3
2
∫ 2y
2
2 x
-x+4
 
= x -x + 4 + -x + 4 - x x + x dx +
2
0
∫ ( ) ( )2 ( ) ( )2 ]
 x x + x - x -x + 4 + -x + 4 dx
3
2
∫ ( ) ( )2 ( ) ( )2 ]
= -x + 4x + x - 8x + 16 - 2x dx + 2x + x - 4x - x + 8x - 16 dx
2
0
∫ 2 2 2
3
2
∫ 2 2 2 ]
= -2x - 4x + 16 dx + 2x + 4x - 16 dx
2
0
∫ 2
3
2
∫ 2 ]
 
= - - + 16x + + + - 16x
2x
3
3 4x
2
2 2
0
2x
3
3 4x
2
2 3
2
 
= - - 2 2 + 16 2 - - - 2 0 + 16 0 + + 2 3 - 16 3
2 2
3
( )3
( )2 ( )
2 0
3
( )3
( )2 ( )
2 3
3
( )3
( )2 ( )
- + 2 2 - 16 2
2 2
3
( )3
( )2 ( )
 
= - - 2 ⋅ 4 + 32 + 2 ⋅ 9 + 2 ⋅ 9 - 48 - - 2 ⋅ 4 + 32
2 ⋅ 8
3
2 ⋅ 8
3
 
= - - 8 + 32 + 18 + 18 - 48 - - 8 + 32 = - + 32 =
16
3
16
3
32
3
76
3
 
 
(Resposta )