Qual ângulo cujo tg(2α) = 2/3

Para encontrar o ângulo \( \alpha \) tal que \( \tan(2\alpha) = \frac{2}{3} \), você pode usar a relação da tangente do ângulo duplo: \[ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)} \] Vamos chamar \( \tan(\alpha) = x \). Assim, temos: \[ \frac{2x}{1 - x^2} = \frac{2}{3} \] Agora, multiplicamos em cruz: \[ 2x \cdot 3 = 2(1 - x^2) \] Isso resulta em: \[ 6x = 2 - 2x^2 \] Rearranjando a equação, obtemos: \[ 2x^2 + 6x - 2 = 0 \] Dividindo toda a equação por 2: \[ x^2 + 3x - 1 = 0 \] Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Substituindo \( a = 1 \), \( b = 3 \), e \( c = -1 \): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2} \] Assim, temos duas soluções para \( \tan(\alpha) \): \[ \tan(\alpha) = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \quad \text{ou} \quad \tan(\alpha) = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \] Agora, você pode usar a função inversa da tangente para encontrar \( \alpha \): \[ \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\right) \quad \text{ou} \quad \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\right) \] Esses valores de \( \alpha \) são os ângulos que satisfazem a condição dada.