Vamos analisar cada afirmação: I) O triângulo é retângulo. Para verificar se o triângulo é retângulo, podemos calcular os comprimentos dos lados usando a fórmula da distância entre dois pontos. - Distância AB: \[ d_{AB} = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] - Distância BC: \[ d_{BC} = \sqrt{(4-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] - Distância AC: \[ d_{AC} = \sqrt{(4-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] Agora, verificamos se a soma dos quadrados de dois lados é igual ao quadrado do terceiro: \[ d_{AB}^2 + d_{BC}^2 = 5 + 5 = 10 = d_{AC}^2 \] Portanto, o triângulo é retângulo. (Verdadeiro) II) O ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios dos lados. Para determinar essa afirmação, precisamos dos pontos médios dos lados. - Ponto médio de AB: \[ M_{AB} = \left(\frac{1+2}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2\right) \] - Ponto médio de AC: \[ M_{AC} = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{1+2}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) \] Agora, o ponto médio do segmento que liga \(M_{AB}\) e \(M_{AC}\): \[ M = \left(\frac{\frac{3}{2} + \frac{5}{2}}{2}, \frac{2 + \frac{3}{2}}{2}\right) = \left(\frac{8/2}{2}, \frac{7/2}{2}\right) = \left(2, \frac{7}{4}\right) \] Portanto, a afirmação está incorreta. (Falso) III) A área do triângulo é 5/2 unidades de área. A área de um triângulo com vértices em \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) e \((x_3, y_3)\) é dada por: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] Substituindo os valores: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 1(3-2) + 2(2-1) + 4(1-3) \right| = \frac{1}{2} \left| 1 + 2 - 8 \right| = \frac{1}{2} \left| -5 \right| = \frac{5}{2} \] Portanto, a afirmação é verdadeira. (Verdadeiro) Resumindo: - I: Verdadeiro - II: Falso - III: Verdadeiro A alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: a) I e III.