Para resolver o produto \( A \cdot A' \), onde: - \( A = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \cdot \sin \frac{5\pi}{4} \right) \) - \( A' = r \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \cdot \sin \frac{3\pi}{4} \right) \) Podemos usar a forma polar de números complexos. O produto de dois números complexos na forma \( r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \) e \( r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \) é dado por: \[ r_1 r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right) \] Calculando: 1. Módulos: \( r_1 = 2 \) e \( r_2 = r \). 2. Ângulos: \( \theta_1 = \frac{5\pi}{4} \) e \( \theta_2 = \frac{3\pi}{4} \). Agora, somamos os ângulos: \[ \theta_1 + \theta_2 = \frac{5\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} = 2\pi \] Portanto, o produto é: \[ 2r \left( \cos(2\pi) + i \sin(2\pi) \right) \] Sabemos que \( \cos(2\pi) = 1 \) e \( \sin(2\pi) = 0 \), então: \[ 2r (1 + 0) = 2r \] Agora, analisando as alternativas: A) \( 2r (\cos 0 + i \sin 0) \) - Correto, pois \( \cos 0 = 1 \) e \( \sin 0 = 0 \). B) \( 2r (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{4}) \) - Incorreto. C) \( r (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{4}) \) - Incorreto. D) \( r (\cos 2\pi + i \sin 2\pi) \) - Correto, mas não é a forma simplificada. A alternativa correta é a) \( 2r (\cos 0 + i \sin 0) \).