Para calcular a integral definida \( \int_0^6 f(x) \, dx \), onde a função \( f(x) \) é definida por: \[ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{se } x < 2 \\ 3x - 2 & \text{se } x \geq 2 \end{cases} \] Precisamos dividir a integral em duas partes, uma de 0 a 2 e outra de 2 a 6: \[ \int_0^6 f(x) \, dx = \int_0^2 x^2 \, dx + \int_2^6 (3x - 2) \, dx \] 1. Cálculo da primeira integral: \[ \int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \] 2. Cálculo da segunda integral: \[ \int_2^6 (3x - 2) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_2^6 \] Calculando os limites: \[ = \left( \frac{3(6^2)}{2} - 2(6) \right) - \left( \frac{3(2^2)}{2} - 2(2) \right) \] \[ = \left( \frac{3 \cdot 36}{2} - 12 \right) - \left( \frac{3 \cdot 4}{2} - 4 \right) \] \[ = \left( 54 - 12 \right) - \left( 6 - 4 \right) = 42 - 2 = 40 \] 3. Somando as duas partes: \[ \int_0^6 f(x) \, dx = \frac{8}{3} + 40 = \frac{8}{3} + \frac{120}{3} = \frac{128}{3} \] Portanto, o valor da integral \( \int_0^6 f(x) \, dx \) é: \[ \frac{128}{3} \]