Para resolver a equação diferencial \( y'' - 8y' + 16y = 0 \), primeiro encontramos a solução geral. A equação característica é: \[ r^2 - 8r + 16 = 0 \] Resolvendo, obtemos: \[ (r - 4)^2 = 0 \implies r = 4 \text{ (raiz dupla)} \] Assim, a solução geral da equação diferencial é: \[ y(t) = C_1 e^{4t} + C_2 t e^{4t} \] Agora, aplicamos as condições iniciais \( y(0) = 4 \) e \( y'(0) = 10 \). 1. Para \( y(0) = 4 \): \[ y(0) = C_1 = 4 \] 2. Para \( y'(t) \): \[ y'(t) = 4C_1 e^{4t} + C_2 e^{4t} + 4C_2 t e^{4t} \] Substituindo \( t = 0 \): \[ y'(0) = 4C_1 + C_2 = 10 \] Substituindo \( C_1 = 4 \): \[ 4 \cdot 4 + C_2 = 10 \implies 16 + C_2 = 10 \implies C_2 = -6 \] Portanto, a solução particular é: \[ y(t) = 4 e^{4t} - 6t e^{4t} \] A resposta correta é: \[ y = 4 e^{4t} - 6t e^{4t} \]