Para determinar o número de raízes da função \( f(x) = 2x^3 + x^2 - 10x + 8 \), podemos usar o Teorema de Bolzano, que afirma que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela possui pelo menos uma raiz nesse intervalo. 1. Análise do comportamento da função: - Para \( x = -3 \): \( f(-3) = 2(-3)^3 + (-3)^2 - 10(-3) + 8 = -54 + 9 + 30 + 8 = -7 \) (negativo) - Para \( x = 0 \): \( f(0) = 8 \) (positivo) - Para \( x = 2 \): \( f(2) = 2(2)^3 + (2)^2 - 10(2) + 8 = 16 + 4 - 20 + 8 = 8 \) (positivo) - Para \( x = 1 \): \( f(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 10(1) + 8 = 2 + 1 - 10 + 8 = 1 \) (positivo) - Para \( x = -2 \): \( f(-2) = 2(-2)^3 + (-2)^2 - 10(-2) + 8 = -16 + 4 + 20 + 8 = 16 \) (positivo) 2. Mudança de sinal: - Observamos que \( f(-3) < 0 \) e \( f(0) > 0 \), então há pelo menos uma raiz entre \(-3\) e \(0\). - A função é cúbica, o que significa que pode ter até 3 raízes reais. 3. Derivada: - Para entender melhor o comportamento da função, podemos calcular a derivada \( f'(x) = 6x^2 + 2x - 10 \) e encontrar os pontos críticos. 4. Análise da derivada: - Resolvendo \( 6x^2 + 2x - 10 = 0 \) usando a fórmula de Bhaskara, encontramos os pontos críticos e, assim, podemos determinar a quantidade de raízes. Após essa análise, podemos concluir que a função possui três raízes reais. Portanto, a alternativa correta é: c) f(x) possui três raízes.