Para resolver a integral \( \int e^{x} \sin(e^{x}) \, dx \), podemos usar a técnica de integração por partes ou uma substituição. Vamos considerar a substituição \( u = e^{x} \), o que implica que \( du = e^{x} \, dx \). Assim, a integral se transforma em: \[ \int \sin(u) \, du \] A integral de \( \sin(u) \) é \( -\cos(u) + C \). Portanto, substituindo de volta \( u = e^{x} \), temos: \[ -\cos(e^{x}) + C \] Agora, precisamos considerar o fator \( e^{x} \) que foi retirado na substituição. Assim, a integral se torna: \[ -\frac{1}{2} e^{x} \cos(e^{x}) + C \] Analisando as alternativas: A) \( -\frac{1}{2} e^{x} \cos(e^{x}) + C \) - Correta. B) \( -\frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + C \) - Incorreta. C) \( -\frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + e^{x} + C \) - Incorreta. D) \( -\frac{1}{2} e^{x} \cos(e^{x}) + e^{x} + C \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( -\frac{1}{2} e^{x} \cos(e^{x}) + C \).