Qual é a derivada de f(x) = an^{-1}(x^2)? A) \( \frac{2x}{1+x^4} \) B) \( \frac{2x^2}{1+x^4} \) C) \( \frac{2x}{1+x^2} \) D) \( \frac{1}{1+x^4} \)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \tan^{-1}(x^2) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada da função \( \tan^{-1}(u) \) em relação a \( u \) é \( \frac{1}{1+u^2} \), e precisamos multiplicar pela derivada de \( u = x^2 \). 1. A derivada de \( u = x^2 \) é \( \frac{du}{dx} = 2x \). 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4} \] Analisando as alternativas: A) \( \frac{2x}{1+x^4} \) - Correta. B) \( \frac{2x^2}{1+x^4} \) - Incorreta. C) \( \frac{2x}{1+x^2} \) - Incorreta. D) \( \frac{1}{1+x^4} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \frac{2x}{1+x^4} \).