Qual é o valor de \(\oint_C \frac{1}{z} dz\) onde \(C\) é o círculo unitário? a) 0 b) \(2\pi i\) c) \(4\pi i\) d) Não existe

Para calcular a integral de linha \(\oint_C \frac{1}{z} dz\) onde \(C\) é o círculo unitário, podemos usar o Teorema dos Resíduos. A função \(\frac{1}{z}\) tem um polo simples em \(z = 0\), que está dentro do círculo unitário. De acordo com o teorema, a integral ao longo de um caminho fechado que envolve um polo é igual a \(2\pi i\) vezes a soma dos resíduos dentro do caminho. O resíduo de \(\frac{1}{z}\) em \(z = 0\) é 1. Portanto, temos: \[ \oint_C \frac{1}{z} dz = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i \] Assim, a resposta correta é: b) \(2\pi i\).