Grátis: Determine a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\). Resposta: \(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\). Explicação: Use a regra da cadeia e a regra d...

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Determine a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\).

Resposta: \(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\). Explicação: Use a regra da cadeia e a regra do quociente.

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Para determinar a derivada da função \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\), você pode usar a regra do quociente. A regra do quociente afirma que, se \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\), então: \[ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \] Neste caso, temos: - \(g(x) = 1\) e \(g'(x) = 0\) - \(h(x) = x^2 + 1\) e \(h'(x) = 2x\) Aplicando a regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 1 \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \] Essa é a resposta correta!

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Resposta: \(f'(x) = 3e^{3x}\). Explicação: A derivada de \(e^{u}\) é \(e^{u} \cdot u'\).

Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\).

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Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\).

Resposta: \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). Explicação: Use a regra da cadeia para derivar \(\ln(u)\).

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Encontre a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x)\).

Resposta: \(f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}\). Explicação: Use a fórmula conhecida para a derivada da função arco-tangente.

Calcule a integral \(\int e^{-x^2} \, dx\).

Resposta: Não pode ser expressa em termos de funções elementares. Usualmente expressa-se usando a função erro.

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