Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). Resposta: \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). Explicação: Use a regra da cadeia para derivar \(\ln(u)\).

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Para determinar a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\), vamos usar a regra da cadeia. 1. Identifique \(u\): Aqui, \(u = x^2 + 1\). 2. Derive \(u\): A derivada de \(u\) em relação a \(x\) é \(u' = 2x\). 3. Aplique a regra da cadeia: A derivada de \(f\) em relação a \(x\) é dada por: \[ f'(x) = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x \] 4. Simplifique: Assim, temos: \[ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \] Portanto, a resposta está correta: \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\).

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Encontre a derivada de \(f(x) = e^{3x}\).

Resposta: \(f'(x) = 3e^{3x}\). Explicação: A derivada de \(e^{u}\) é \(e^{u} \cdot u'\).

Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\).

Resposta: \(-\frac{1}{x} + C\). Explicação: Reescreva \(\frac{1}{x^2}\) como \(x^{-2}\) e integre.

Calcule a integral \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\).

Resposta: \(\frac{1}{2}(e - 1)\). Explicação: Use a substituição \(u = x^2\), \(du = 2x \, dx\).

Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\).

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Encontre a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x)\).

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Calcule a integral \(\int e^{-x^2} \, dx\).

Resposta: Não pode ser expressa em termos de funções elementares. Usualmente expressa-se usando a função erro.

Cálculo

Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). Resposta: \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). Explicação: Use a regra da cadeia para derivar \(\ln(u)\).

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