Calcule a integral \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\). Resposta: \(\frac{1}{2}(e - 1)\). Explicação: Use a substituição \(u = x^2\), \(du = 2x \, dx\).

Para calcular a integral \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\), vamos usar a substituição \(u = x^2\). 1. Substituição: - \(u = x^2\) implica que \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). - Quando \(x = 0\), \(u = 0\) e quando \(x = 1\), \(u = 1\). 2. Reescrevendo a integral: \[ \int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \int_0^1 e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du \] 3. Calculando a integral: \[ \int e^u \, du = e^u + C \] Portanto, \[ \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^1 = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{1}{2} (e - 1) \] Assim, a resposta final é: \[ \int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} (e - 1) \]