Problema: Encontre \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} \, dx\).

Para resolver a integral \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} \, dx\), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da raiz. 1. Completar o quadrado: \[ x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 \] 2. Substituir na integral: A integral se torna: \[ \int \frac{1}{\sqrt{(x - 1)^2 + 1}} \, dx \] 3. Usar a substituição trigonométrica: Vamos usar a substituição \(x - 1 = \tan(\theta)\), então \(dx = \sec^2(\theta) \, d\theta\). A integral se transforma em: \[ \int \frac{\sec^2(\theta)}{\sqrt{\tan^2(\theta) + 1}} \, d\theta \] Sabemos que \(\sqrt{\tan^2(\theta) + 1} = \sec(\theta)\), então a integral fica: \[ \int \sec^2(\theta) \cdot \frac{1}{\sec(\theta)} \, d\theta = \int \sec(\theta) \, d\theta \] 4. Integrar: A integral de \(\sec(\theta)\) é: \[ \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) | + C \] 5. Voltar à variável original: Lembre-se que \(x - 1 = \tan(\theta)\), então \(\theta = \tan^{-1}(x - 1)\). Assim, temos: \[ \sec(\theta) = \sqrt{(x - 1)^2 + 1} = \sqrt{x^2 - 2x + 2} \] Portanto, \(\tan(\theta) = x - 1\). 6. Resultado final: A integral se torna: \[ \ln | \sqrt{x^2 - 2x + 2} + (x - 1) | + C \] Assim, a resposta final é: \[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} \, dx = \ln | \sqrt{x^2 - 2x + 2} + (x - 1) | + C \]