Resolva o exercício a seguir, passo a passo (apresentar a solução). Calcular a área entre a curvas f(x)=x^2+2 e g(x)=x, para 0 ≤ x ≤ 1

Para calcular a área entre as curvas \( f(x) = x^2 + 2 \) e \( g(x) = x \) no intervalo \( 0 \leq x \leq 1 \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas funções para encontrar onde elas se cruzam. \[ x^2 + 2 = x \] Rearranjando a equação: \[ x^2 - x + 2 = 0 \] Essa equação não possui raízes reais, pois o discriminante \( (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \) é negativo. Portanto, as curvas não se cruzam no intervalo dado. 2. Determinar qual função está acima da outra: Para \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 + 2 = 2 \quad \text{e} \quad g(0) = 0 \] Para \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^2 + 2 = 3 \quad \text{e} \quad g(1) = 1 \] Assim, \( f(x) \) está sempre acima de \( g(x) \) no intervalo \( [0, 1] \). 3. Calcular a área entre as curvas: A área \( A \) entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções: \[ A = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{1} ((x^2 + 2) - x) \, dx \] Simplificando: \[ A = \int_{0}^{1} (x^2 - x + 2) \, dx \] 4. Calcular a integral: \[ A = \int_{0}^{1} (x^2 - x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1} \] Avaliando nos limites: \[ A = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} + 2 \cdot 0 \right) \] \[ A = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) \] Para somar, precisamos de um denominador comum (6): \[ A = \left( \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} \right) = \frac{2 - 3 + 12}{6} = \frac{11}{6} \] 5. Resultado: A área entre as curvas \( f(x) \) e \( g(x) \) no intervalo \( [0, 1] \) é: \[ A = \frac{11}{6} \]