Para resolver essa questão, precisamos aplicar um método numérico, como o método de Euler, para encontrar a aproximação de \( y(2) \) com \( h = 0,5 \) e, em seguida, calcular o erro relativo em relação à solução exata. 1. Definindo a função: A equação diferencial é dada por: \[ y' = \frac{2y}{x+1} + (x+1)^3 \] com a condição inicial \( y(0) = 3 \). 2. Aplicando o método de Euler: - Para \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 3 \). - O próximo passo será \( x_1 = 0 + 0,5 = 0,5 \): \[ y' = \frac{2(3)}{0+1} + (0+1)^3 = 6 + 1 = 7 \] \[ y_1 = y_0 + h \cdot y' = 3 + 0,5 \cdot 7 = 3 + 3,5 = 6,5 \] - Para \( x_1 = 0,5 \), \( y_1 = 6,5 \): \[ y' = \frac{2(6,5)}{0,5+1} + (0,5+1)^3 = \frac{13}{1,5} + 2,25 = 8,6667 + 2,25 = 10,9167 \] \[ y_2 = y_1 + h \cdot y' = 6,5 + 0,5 \cdot 10,9167 = 6,5 + 5,45835 = 11,95835 \] - Para \( x_2 = 1,0 \), \( y_2 = 11,95835 \): \[ y' = \frac{2(11,95835)}{1+1} + (1+1)^3 = \frac{23,9167}{2} + 8 = 11,95835 + 8 = 19,95835 \] \[ y_3 = y_2 + h \cdot y' = 11,95835 + 0,5 \cdot 19,95835 = 11,95835 + 9,979175 = 21,937525 \] - Para \( x_3 = 1,5 \), \( y_3 = 21,937525 \): \[ y' = \frac{2(21,937525)}{1,5+1} + (1,5+1)^3 = \frac{43,87505}{2,5} + 27,5625 = 17,55 + 27,5625 = 45,1125 \] \[ y_4 = y_3 + h \cdot y' = 21,937525 + 0,5 \cdot 45,1125 = 21,937525 + 22,55625 = 44,493775 \] - Para \( x_4 = 2,0 \), \( y_4 = 44,493775 \): \[ y' = \frac{2(44,493775)}{2+1} + (2+1)^3 = \frac{88,98755}{3} + 27 = 29,6625 + 27 = 56,6625 \] \[ y(2) = y_4 + h \cdot y' = 44,493775 + 0,5 \cdot 56,6625 = 44,493775 + 28,33125 = 72,825025 \] 3. Cálculo do erro relativo: - A solução exata dada é \( y(2) = 66,441667 \). - O erro relativo é calculado como: \[ Er = \left| \frac{y_{aproximado} - y_{exato}}{y_{exato}} \right| \times 100\% \] \[ Er = \left| \frac{72,825025 - 66,441667}{66,441667} \right| \times 100\% \approx 9,5\% \] Após a análise das alternativas, a que mais se aproxima do resultado obtido é a D: \( y(2) = 65,143737 \) e \( Er = 1,3\% \). Portanto, a resposta correta é a D.