Determine a área da região limitada pelas curvas y = x2 /2 e y2 = 2x no intervalo [0, 2]. Em seguida assinale a resposta correta.

Para determinar a área da região limitada pelas curvas \( y = \frac{x^2}{2} \) e \( y^2 = 2x \) no intervalo \([0, 2]\), siga os passos abaixo: 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas funções para encontrar os pontos onde se cruzam. \[ \frac{x^2}{2} = \sqrt{2x} \] Elevando ao quadrado ambos os lados: \[ \left(\frac{x^2}{2}\right)^2 = 2x \] \[ \frac{x^4}{4} = 2x \] \[ x^4 - 8x = 0 \] Fatorando: \[ x(x^3 - 8) = 0 \] Portanto, \( x = 0 \) ou \( x = 2 \). 2. Determinar a área: A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções no intervalo de interseção: \[ A = \int_{0}^{2} \left( \sqrt{2x} - \frac{x^2}{2} \right) dx \] 3. Calcular a integral: - A integral de \( \sqrt{2x} \): \[ \int \sqrt{2x} \, dx = \frac{2}{3}(2x)^{3/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} x^{3/2} \] - A integral de \( \frac{x^2}{2} \): \[ \int \frac{x^2}{2} \, dx = \frac{x^3}{6} \] 4. Substituir os limites: \[ A = \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{2} \] Calculando em \( x = 2 \): \[ A = \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} (2)^{3/2} - \frac{(2)^3}{6} \right) - 0 \] \[ = \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{8}{6} \right) \] \[ = \left( \frac{8}{3} - \frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \] Portanto, a área da região limitada pelas curvas no intervalo \([0, 2]\) é \( \frac{4}{3} \).