Para encontrar a altura da caixa, precisamos usar a fórmula do volume \( V \) de um bloco retangular, que é dada por: \[ V = \text{comprimento} \times \text{largura} \times \text{altura} \] Dado que a largura é \( x + 2 \) e o comprimento é \( x + 3 \), podemos expressar o volume como: \[ V = (x + 3)(x + 2)(h) \] onde \( h \) é a altura que queremos encontrar. Sabemos que o volume \( V \) também é dado pela expressão: \[ V = x^3 + 12x^2 + 41x + 42 \] Agora, vamos calcular o produto \( (x + 3)(x + 2) \): \[ (x + 3)(x + 2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6 \] Agora, substituímos isso na expressão do volume: \[ V = (x^2 + 5x + 6)(h) \] Para encontrar a altura \( h \), precisamos igualar as duas expressões para o volume: \[ (x^2 + 5x + 6)(h) = x^3 + 12x^2 + 41x + 42 \] Agora, vamos dividir \( x^3 + 12x^2 + 41x + 42 \) por \( x^2 + 5x + 6 \) para encontrar \( h \). Fazendo a divisão, obtemos: 1. O primeiro termo da divisão é \( x \), pois \( x \cdot (x^2 + 5x + 6) = x^3 + 5x^2 + 6x \). 2. Subtraindo isso do polinômio original, temos: \[ (x^3 + 12x^2 + 41x + 42) - (x^3 + 5x^2 + 6x) = 7x^2 + 35x + 42 \] 3. O próximo termo da divisão é \( 7 \), pois \( 7 \cdot (x^2 + 5x + 6) = 7x^2 + 35x + 42 \). 4. Subtraindo novamente, obtemos 0. Portanto, a altura \( h \) é: \[ h = x + 7 \] Assim, a expressão que corresponde à altura da caixa é: e) x + 7.