2. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equação sec²(x + y) − cos²(x + y) = 3/2. Calcule f ′(π/4), sabendo que f(π/4) = 0.

Para calcular \( f'(\pi/4) \) da função definida implicitamente pela equação \( \sec^2(x + y) - \cos^2(x + y) = \frac{3}{2} \), vamos usar a derivação implícita. 1. Diferencie ambos os lados da equação em relação a \( x \): \[ \frac{d}{dx} \left( \sec^2(x + y) \right) - \frac{d}{dx} \left( \cos^2(x + y) \right) = 0 \] 2. Aplique a regra da cadeia: - Para \( \sec^2(x + y) \): \[ 2\sec^2(x + y) \tan(x + y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \] - Para \( \cos^2(x + y) \): \[ -2\cos(x + y) \sin(x + y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \] 3. Substitua na equação: \[ 2\sec^2(x + y) \tan(x + y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) + 2\cos(x + y) \sin(x + y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 0 \] 4. Fatorando: \[ \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \left(2\sec^2(x + y) \tan(x + y) + 2\cos(x + y) \sin(x + y)\right) = 0 \] 5. Como \( 1 + \frac{dy}{dx} \neq 0 \), temos: \[ 2\sec^2(x + y) \tan(x + y) + 2\cos(x + y) \sin(x + y) = 0 \] 6. Substitua \( x = \frac{\pi}{4} \) e \( y = 0 \): - \( x + y = \frac{\pi}{4} \) - \( \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \) - \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \) - \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Substituindo: \[ 2(2)(1) + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0 \] \[ 4 + 1 = 0 \quad \text{(não é verdade)} \] 7. Portanto, resolvemos para \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2\sec^2(x + y) \tan(x + y)}{2\cos(x + y) \sin(x + y)} \] 8. Substituindo os valores: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2(2)(1)}{2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = -\frac{4}{1} = -4 \] Portanto, \( f'(\pi/4) = -4 \).