4. Considere y = f(x) definida implicitamente por x⁴ − xy + y⁴ = 1. Calcule f ′(0), sabendo que f(x) > 0, ∀x ∈ R.

Para calcular \( f'(0) \) da função \( y = f(x) \) definida implicitamente pela equação \( x^4 - xy + y^4 = 1 \), vamos usar a derivada implícita. 1. Derivando a equação implicitamente: \[ \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^4) = \frac{d}{dx}(1) \] Isso resulta em: \[ 4x^3 - \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) + 4y^3 \frac{dy}{dx} = 0 \] 2. Reorganizando a equação: \[ 4x^3 - y + \left(4y^3 - x\right) \frac{dy}{dx} = 0 \] Isolando \( \frac{dy}{dx} \): \[ \left(4y^3 - x\right) \frac{dy}{dx} = y - 4x^3 \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{y - 4x^3}{4y^3 - x} \] 3. Calculando \( f'(0) \): Primeiro, precisamos encontrar \( y \) quando \( x = 0 \): \[ 0^4 - 0 \cdot y + y^4 = 1 \implies y^4 = 1 \implies y = 1 \quad (\text{já que } f(x) > 0) \] Agora substituímos \( x = 0 \) e \( y = 1 \) na expressão da derivada: \[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0} = \frac{1 - 4 \cdot 0^3}{4 \cdot 1^3 - 0} = \frac{1}{4} \] Portanto, \( f'(0) = \frac{1}{4} \).