Para qual (is) valor (es) a função f(x)= x3+4x2-5 possui ponto de mímimo? A) x=5 B) x=-5 C) x=4 D) x=10 E) x=-2

Para encontrar os pontos de mínimo da função \( f(x) = x^3 + 4x^2 - 5 \), precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 3x^2 + 8x \] 2. Igualar a derivada a zero: \[ 3x^2 + 8x = 0 \] Fatorando: \[ x(3x + 8) = 0 \] Isso nos dá: \[ x = 0 \quad \text{ou} \quad 3x + 8 = 0 \Rightarrow x = -\frac{8}{3} \] 3. Determinar a natureza dos pontos críticos: Para isso, podemos usar a segunda derivada: \[ f''(x) = 6x + 8 \] Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos: - Para \( x = 0 \): \[ f''(0) = 6(0) + 8 = 8 \quad (\text{positivo, ponto de mínimo}) \] - Para \( x = -\frac{8}{3} \): \[ f''\left(-\frac{8}{3}\right) = 6\left(-\frac{8}{3}\right) + 8 = -16 + 8 = -8 \quad (\text{negativo, ponto de máximo}) \] Portanto, a função possui um ponto de mínimo em \( x = 0 \). No entanto, essa opção não está entre as alternativas apresentadas. Dessa forma, você precisa criar uma nova pergunta, pois não há uma resposta correta entre as opções dadas.