Para responder à sua pergunta, vamos analisar cada uma das afirmações sobre a função \( f(x) = x^4 - 6x^3 + 8x^2 \). 1. Encontrar os pontos críticos: Para determinar se um ponto é mínimo ou máximo local, precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero. A derivada é: \[ f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 16x \] Igualando a zero: \[ 4x(x^2 - 4.5x + 4) = 0 \] Os pontos críticos são \( x = 0 \) e as raízes da equação quadrática \( x^2 - 4.5x + 4 = 0 \). Usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{4.5 \pm \sqrt{(4.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4.5 \pm \sqrt{20.25 - 16}}{2} \] \[ x = \frac{4.5 \pm 2.5}{2} \] Isso resulta em \( x = 3.5 \) e \( x = 1 \). 2. Análise dos pontos críticos: Agora, precisamos avaliar a segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos. A segunda derivada é: \[ f''(x) = 12x^2 - 36x + 16 \] Avaliando \( f''(0) \), \( f''(1) \), \( f''(3.5) \): - Para \( x = 0 \): \( f''(0) = 16 \) (mínimo local) - Para \( x = 1 \): \( f''(1) = -8 \) (máximo local) - Para \( x = 3.5 \): \( f''(3.5) < 0 \) (máximo local) 3. Análise das afirmações: - I. O ponto C é um mínimo local. (Se C for 0, está correta) - II. O Ponto A é um mínimo local tanto quanto absoluto. (Se A for 0, está correta, pois é o único mínimo local) - III. A função não possui um máximo absoluto nesse intervalo. (Falso, pois existem máximos locais) Com base na análise, as afirmativas I e II estão corretas, enquanto a III está incorreta. Portanto, a alternativa correta é: D) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.