Se A ∈ Mn satisfaz AAT = O, mostre que A = O.

Para mostrar que se \( A \in M_n \) e \( A A^T = O \), então \( A = O \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Definição de \( A A^T = O \): Isso significa que o produto da matriz \( A \) pela sua transposta \( A^T \) resulta na matriz nula \( O \). 2. Propriedades do produto de matrizes: O elemento \( (i,j) \) da matriz \( A A^T \) é dado por: \[ (A A^T)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} a_{jk} \] onde \( a_{ik} \) é o elemento da linha \( i \) e coluna \( k \) da matriz \( A \). 3. Análise do produto: Como \( A A^T = O \), temos que para todo \( i \) e \( j \): \[ \sum_{k=1}^{n} a_{ik} a_{jk} = 0 \] 4. Escolha de \( i = j \): Se escolhermos \( i = j \), obtemos: \[ \sum_{k=1}^{n} a_{ik}^2 = 0 \] Isso implica que cada termo \( a_{ik}^2 \) deve ser zero, pois a soma de números não negativos só é zero se cada um deles for zero. Portanto, \( a_{ik} = 0 \) para todo \( k \). 5. Conclusão: Como isso é verdadeiro para cada linha \( i \) de \( A \), concluímos que todos os elementos de \( A \) são zero, ou seja, \( A = O \). Assim, mostramos que se \( A A^T = O \), então \( A = O \).