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T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S e LINEAR B
Vamos relembrar alguns conceitos da linear A, associados à noção de transformação linear, que contribuirão para
resultados interessantes no estudo da LINEAR B. Ou seja, os resultados a seguir constroem relações entre transformações
lineares e espaços vetoriais.
Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais V e W que satisfaz duas
propriedades
T :V →W
v →w=T v
Propriedade 1: Para quaisquer v1 e v2 vetores de V vale
T v1v2=T v1T v 2
(Lê-se: a transformada da soma é a soma das trasnformadas)
Propriedade 2: Para quaisquer k ∈ℝ e v vetor de V vale
T k.v =k.T v 
(Lê-se: a transformada de um escalar vezes o vetor é o escalar vezes a trasnformada do vetor)
Importante: Toda transformação linear T :V →W sempre leva o vetor nulo de V no
vetor nulo de W. (Por que?)
Para recordar exemplos e a teoria a seguir vá ao livro texto de LINEAR A (ou outro livro)
Álgebra Linear Básica com Geometria Analítica – Paulo Parga.
Teorema:
Considere V um espaço vetorial de dimensão n , W um espaço vetorial de dimensão m e
bases α={v1, v2. ... , vn} e β={w1, w2.... , wm} de V e W, respectivamente. Se T: V → W é uma
transformação linear então existe uma matriz A , m x n, que cumpre 
T v =w se, e só se , A. [v ]= [w ] .
A matriz A tem como j-ésima coluna o vetor coordenada [T(v j )]b .
Demonstração:
Considere v no espaço V então podemos escrever
v=1 . v12 . v2 ...n . vn ,
sendo α1 , α2 ,…, αn escalares reais e a base ={v1, v2. ... , vn} de vetores de V.
Adotamos a seguinte notação
[ v ]α = ( α1 , α2 ,…, αn ),
é um vetor do Rn , chamado de vetor de coordenadas de v na base α.
Aplicando a tranformação T ao vetor v e utilizando a linearidade de T, podemos escrever
w=T v =1 .T v12 .T v2...n.T vn ...(**)
Como T(v j ) está em W e ={w1, w2. ... ,wm} é base de W então existem escalares aij tais que
T (v1)=a11w1+a21w2+⋯+am1wm=∑
i=1
m
ai1wi ,
T v2=a12w1a22w2⋯am2wm=∑
i=1
m
ai2wi ,
⋮
T vn=a1nw1a2nw2⋯amnwm=∑
i=1
m
a i.nwi
e, substituindo em (**), obtemos
T v =1.∑
i=1
m
a i1 w i2.∑
i=1
m
a i2w i...n.∑
i=1
m
a i.nw i .
Ajeitando a expressão anterior e colocando os vetores w j em evidência obtemos
T v =∑
i=1
n
a1j jw1∑
i=1
n
a2j jw2...∑
i=1
n
amj jwm .
Daí , trabalhando em notação matricial, segue que 
[w]=[T v]=A.[v ] ,
sendo A a matriz m x n em que as colunas são os vetores coordenadas de T(v j ) escritos na base b.
Notação: [ A ]

é matriz que representa T quando consideramos em V a base a e em W a base b.
Exemplo: 
Considere T :P3→P2 a transformação linear que a cada polinômio de grau no máximo 3
associa sua derivada, que, necessariamente, será um polinômio de grau no máximo 2.
Considerando para P3 a base { 1 ,t ,t 2 ,t 3 }e para P2 a base { 1 ,t ,t 2 } encontre a
matriz A, 3 x 4, que representa T:
T (1) = 0 = 0 . 1+ 0 . t.+ 0. t2 
T ( t ) = 1 = 1 .1 + 0 . t + 0. t2 
T ( t2 ) = 2 t = 0 .1 + 2 . t + 0. t2 
T ( t3 ) = 3 t2 = 0 . 1 + 0 . t.+ 3. t2 
Portanto,
A=0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3 .
 Para p(t) = 1 + t + t2 + t3 , verifique que p’(t) = A(p(t)).
Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear T(v)
(núcleo e espaço coluna de uma matriz A)
Dada uma transformação linear T :V →W o núcleo de T (ou ker T) é o subconjunto de V tal
que tal que 
kerT ={v∈V∣T  v=0}
Prova-se (leia livro) que de fato ker T é um subespaço de V.
Um outro subconjunto (e subespaço) associado a uma transformação linear é a sua imagem
im T = {w∈W∣existe v∈V com T v =w } ,
de fato prova-se que este subconjunto é um subespaço de W (leia livro).
Exemplo: Para uma transformação linear do tipo 
T : Rn
 Rm
v  T v =A .v
,
sendo A uma matriz, m×n , observamos que
ker T={v∈Rn
∣T v =A.v=0}=núcleo de A
Ainda seguimos observando:
Im T = {w∈Rm
∣existe v∈Rn com T v =A .v=w } .
Assim, da álgebra feita com matrizes, se
v=
x1
x2
⋮
x n

então
T v=A.v=
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
A1 A2 A3 ⋯ An
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 

MATRIZ A
.
x1
x2
x3
⋮
xn
= x1. A1x2 . A2 x3 . A3⋯ xn. An ,
ou seja, a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, chamado de espaço coluna de A .
A dimensão do espaço coluna de A é chamado de posto coluna de A e a dimensão do núcleo de
A é chamado de nulidade de A .
Exemplo:
Considere 
A=
1 −3 4
3 −10 13
1 0 1
0 1 −1

1) Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T : R3
 R4
v  T v =A .v
,
2) Encontre bases para o núcleo e a imagem,
3) Qual é o posto coluna e a nulidade de A.
Teorema do Núcleo e Imagem
Dada uma transformação linear T :V →W , em que os espaços vetoriais têm dimensão
finita, isto é, dim V = n e dim W = m vale que dim V = dim Im T + dim ker T . Se T(v)=A.v com
A, uma matriz m×n , vale n = posto coluna de A + nulidade de A.
Demo: 
O núcleo de T, kerT, é um subespaço vetorial de V e, portanto, dimkerT≤n .
Se a dim ker T = n = dimensão V então para todo v vetor de V vale T(v)=vetor nulo. Daí a
dimensão da Im T é zero e o teorema é válido!
Suponha que dim(kerT) = kque?).
(C3) T: V → W é um isomorfismo se, e só se, dim V =n= dim W (por que?). 
OBS: Se A for uma matriz quadrada, n x n ,que representa um isomorfismo T então é possível
mostrar que A tem inversa e que A−1 é uma matriz que representa T−1 .
IMPORTANTE: Para a Álgebra Linear e sua teoria qualquer espaço de dimensão n é
isomorfo ao Rn.
Exemplo: Matriz Mudança de Base
Consideramos V um espaço vetorial de dimensão n e bases de V
α = { u1 , u2 , …, un } 
e
β = { v1 , v2 , …, vn } .
Para qualquer vetor w em V existem escalares αj s tais que 
w= α1.u1 + α2.u2 + … + αn.un (**)
e daí definimos [w]α = ( α1 , α2 , … , αn ), o vetor coordenadas de w na base α.
Porém também existem escalares βj s tais que 
w= β1.v1 + β2.v2 + … + βn.vn (***),
e daí definimos [w]β = ( β 1 , β 2 , … , β n ), o vetor coordenadas de w na base β.
Vamos construir uma transformação linear que leva as coordenadas de um vetor na base α nas
coordenadas deste mesmo vetor na base β. Ou seja,
T: Rn → Rn
[w]α → T([w]α) = [w]β.
Cada vetor da base α está em V e, portanto, é, ele mesmo, uma combinação linear dos vetores da
base β:
u j=a1 j v1+a2 j v2+⋯+anjvn=∑
i=1
n
aij v i
 Daí podemos reescrever a expressão (**) 
w= α1. ∑
i=1
m
a i1 v i + α2. ∑
i=1
m
a i2 vi + … + αn ∑
i=1
n
a i n vi
Nesta grande combinação linear dos vetores da base β, vamos colocar cada um de seus vetores
em evidência e obter
w= α1. ∑
i=1
m
a i1 v i + α2. ∑
i=1
m
a i2 vi + … + αn ∑
i=1
n
a i n vi
w=(a11α1+a12α2+…+a1nαn)v 1+(a21α1+a22α2+…+a2nαn)v2+…+(an1α1+an2α2+…+annαn )vn .
Desta última expressão segue que 
[w]β = A. [w]α . (****)
Assim a transformação T é definida por: T( [w]α )= A. [w]α = [w]β . 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
1. A matriz A,nxn, é chamada de matriz mudança da base α para β e é denotada por [M]α
β. ;
2. A matriz [M]α
β é construída colocando em sua j-ésima coluna as coordenadas do [uj ]β ;
3. É possível provar que o sistema homogêneo com [M]α
β tem solução única e, portanto, ela
possui inversa. Aplicando sua matriz inversa aos dois lados de (****) obtemos 
[w]α = A-1 . [w]β .
Daí A-1 = [M]β
α .