Questão 7 Usando derivação implícita, determine ∂z/∂x e ∂z/∂y quando x2 + y2 + z2 = 3xyz.

Para encontrar as derivadas parciais \(\frac{\partial z}{\partial x}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y}\) usando derivação implícita na equação \(x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz\), siga os passos abaixo: 1. Derive a equação em relação a \(x\): \[ \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial x}(y^2) + \frac{\partial}{\partial x}(z^2) = \frac{\partial}{\partial x}(3xyz) \] Isso resulta em: \[ 2x + 0 + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 3y z + 3x y \frac{\partial z}{\partial x} \] 2. Reorganize a equação: \[ 2z \frac{\partial z}{\partial x} - 3xy \frac{\partial z}{\partial x} = 3yz - 2x \] \[ \frac{\partial z}{\partial x}(2z - 3xy) = 3yz - 2x \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3yz - 2x}{2z - 3xy} \] 3. Derive a equação em relação a \(y\): \[ \frac{\partial}{\partial y}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(z^2) = \frac{\partial}{\partial y}(3xyz) \] Isso resulta em: \[ 0 + 2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y} = 3xz + 3xy \frac{\partial z}{\partial y} \] 4. Reorganize a equação: \[ 2z \frac{\partial z}{\partial y} - 3xy \frac{\partial z}{\partial y} = 3xz - 2y \] \[ \frac{\partial z}{\partial y}(2z - 3xy) = 3xz - 2y \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{3xz - 2y}{2z - 3xy} \] Portanto, as derivadas parciais são: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3yz - 2x}{2z - 3xy} \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{3xz - 2y}{2z - 3xy} \]