Questão 8 Se z = f(x− y), mostre que ∂z/∂x + ∂z/∂y = 0.

Para mostrar que \(\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 0\) quando \(z = f(x - y)\), vamos usar a regra da cadeia. 1. Definindo a função: Temos \(z = f(u)\), onde \(u = x - y\). 2. Derivadas parciais: - A derivada parcial de \(z\) em relação a \(x\) é: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{df}{du} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = f'(u) \cdot 1 = f'(x - y) \] - A derivada parcial de \(z\) em relação a \(y\) é: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{df}{du} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = f'(u) \cdot (-1) = -f'(x - y) \] 3. Somando as derivadas: \[ \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = f'(x - y) - f'(x - y) = 0 \] Portanto, mostramos que \(\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 0\).