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Questão 9 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0.1 cm. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área desse retângulo.

RESP. Denotamos a largura L = 24 cm e o comprimento C = 30 cm. As diferenciais dL e dC serão as incertezas em cada medida: dL = dC = 0.1 cm. Temos que a área é o produto A = LC = (24).(30) = 720 cm².

O erro máximo cometido é dA = ∂A/∂L dL + ∂A/∂C dC = C dL + L dC = 30(0.1) + 24(0.1) = 5.4 cm².

Assim, podemos escrever A = (720± 5.4) cm².

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Cálculo 2 Solução da Lista - plano tangente
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Para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo usando diferenciais, vamos seguir os passos que você já mencionou. 1. Definição das variáveis: - Comprimento \( C = 30 \) cm - Largura \( L = 24 \) cm - Erro máximo nas medidas \( dL = dC = 0.1 \) cm 2. Cálculo da área: - A área \( A = L \times C = 24 \times 30 = 720 \) cm² 3. Cálculo das diferenciais: - A fórmula para o erro máximo na área é: \[ dA = \frac{\partial A}{\partial L} dL + \frac{\partial A}{\partial C} dC \] - Calculando as derivadas parciais: \[ \frac{\partial A}{\partial L} = C = 30 \quad \text{e} \quad \frac{\partial A}{\partial C} = L = 24 \] 4. Substituindo os valores: \[ dA = 30 \cdot dL + 24 \cdot dC = 30(0.1) + 24(0.1) = 3 + 2.4 = 5.4 \text{ cm²} \] 5. Resultado final: - O erro máximo cometido é \( dA = 5.4 \) cm², então podemos escrever: \[ A = (720 \pm 5.4) \text{ cm²} \] Portanto, a resposta correta é que o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo é \( 5.4 \) cm².

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Questão 2 Obtenha equações para os planos tangentes à superfície z = 2x2 + xy2 nos pontos A =

(1, 1, 3) e B = (−1, 2,−2).

Determinar a equação do plano tangente no ponto A = (1, 1, 3).
Determinar a equação do plano tangente no ponto B = (-1, 2, -2).

Questão 4 Determine a aproximação linear da função f(x, y) =
√
20− x2 − 7y2 no ponto (2, 1)

e use-a para encontrar valores aproximados para f(1.95 , 1.08). Usando uma calculadora, obtenha
também o valor exato para f(1.95 , 1.08).

Determinar a aproximação linear da função f(x, y) = √(20 - x² - 7y²) no ponto (2, 1).
Encontrar o valor aproximado de f(1.95, 1.08) utilizando a aproximação linear.
Encontrar o valor exato de f(1.95, 1.08) utilizando uma calculadora.

Questão 5 Determine a aproximação linear da função f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 no ponto (3, 2, 6)

e use-a para encontrar valores aproximados para
√
(3.02)2 + (1.97)2 + (5.99)2. Usando uma calcula-
dora, obtenha também o valor exato

Determinar a aproximação linear da função f(x, y, z) = √(x² + y² + z²) no ponto (3, 2, 6).
Encontrar o valor aproximado de √(3.02² + 1.97² + 5.99²) utilizando a aproximação linear.
Encontrar o valor exato de √(3.02² + 1.97² + 5.99²) utilizando uma calculadora.

Questão 6 Explique porque a função é diferenciável no ponto indicado e encontre a linearização
L(x, y) naquele ponto.

(a) f(x, y) = x3y4, ponto (1, 4)

(b) f(x, y) = e−xy cos y, ponto (π, 0)

Explicar por que a função f(x, y) = x³y⁴ é diferenciável no ponto (1, 4) e encontrar a linearização L(x, y) naquele ponto.
Explicar por que a função f(x, y) = e^(-xy)cos(y) é diferenciável no ponto (π, 0) e encontrar a linearização L(x, y) naquele ponto.

Questão 7 Determine a diferencial total das funções abaixo.

(a) z(x, y) = x3 ln(y2)

RESP. As derivadas parciais são zx(x, y) = 3x2 ln(y2) e zy(x, y) = 2yx3 1/y2 = 2x3/y. Portanto, a diferencial total é dz = 3x2 ln(y2) dx + 2x3/y dy

(b) w(x, y, z) = x/(1 + xyz)

RESP. Aqui temos três variáveis independentes, mas o procedimento é o mesmo. As derivadas parciais são wx(x, y) = 1/(1 + xyz)², wy(x, y) = −x²z/(1 + xyz)² e wz(x, y) = −x²y/(1 + xyz)². Portanto, a diferencial total é dw = 1/(1 + xyz)² dx − x²z/(1 + xyz)² dy − x²y/(1 + xyz)² dz.

Questão 8 Se z = 5x² + y² e (x, y) varia de (3,−1) para (2.96,−0.95), obtenha e compare os valores de ∆z e dz.

RESP. ∆z é a variação total de z. Portanto ∆z = z(2.96,−0.95)− z(3,−1) = [5(2.96)² + (−0.95)²]− [5(3)² + (−1)²] = 44.7105− 46 = -1.2895.

Por outro lado (atenção para a definição de dx e dy como valor final menos valor inicial e para o cálculo das derivadas parciais no ponto inicial), dz = zx(x, y) dx + zy(x, y) dy = 10x dx + 2y dy = 10(3)(2.96− 3) + 2(−1)[−0.95− (−1)] = -1.1.

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