Para determinar a diferencial total de uma função de várias variáveis, utilizamos as derivadas parciais em relação a cada variável. Vamos analisar as duas funções apresentadas. (a) Para a função \( z(x, y) = x^3 \ln(y^2) \): - As derivadas parciais já foram calculadas: - \( z_x(x, y) = 3x^2 \ln(y^2) \) - \( z_y(x, y) = 2x^3/y \) A diferencial total é dada por: \[ dz = z_x \, dx + z_y \, dy \] Substituindo as derivadas: \[ dz = 3x^2 \ln(y^2) \, dx + \frac{2x^3}{y} \, dy \] (b) Para a função \( w(x, y, z) = \frac{x}{1 + xyz} \): - As derivadas parciais também foram calculadas: - \( w_x(x, y, z) = \frac{1}{(1 + xyz)^2} \) - \( w_y(x, y, z) = -\frac{x^2 z}{(1 + xyz)^2} \) - \( w_z(x, y, z) = -\frac{x^2 y}{(1 + xyz)^2} \) A diferencial total é dada por: \[ dw = w_x \, dx + w_y \, dy + w_z \, dz \] Substituindo as derivadas: \[ dw = \frac{1}{(1 + xyz)^2} \, dx - \frac{x^2 z}{(1 + xyz)^2} \, dy - \frac{x^2 y}{(1 + xyz)^2} \, dz \] Portanto, as diferenciais totais para as funções são: - Para \( z(x, y) \): \( dz = 3x^2 \ln(y^2) \, dx + \frac{2x^3}{y} \, dy \) - Para \( w(x, y, z) \): \( dw = \frac{1}{(1 + xyz)^2} \, dx - \frac{x^2 z}{(1 + xyz)^2} \, dy - \frac{x^2 y}{(1 + xyz)^2} \, dz \) Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!