Questão 2 (2 pontos) Considere a curva γ dada em coordenadas polares pela equação r = 2cosθ, −π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Encontre uma parametrização para γ em coordenadas cartesianas, calcule seu comprimento e esboce seu traço. Solução. Basta observar que x = r cosθ = 2cos2θ e y = r senθ = sen(2θ), assim a curva admite a parametrização γ(θ) = (2cos2θ, sen(2θ)) , −π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Temos que γ′(θ) = (−2sen(2θ),2cos(2θ)), e portanto, |γ′(θ)| = 2, para todo θ ∈ (−π 2 , π2 ). Assim, o comprimento de γ é dado por ∫ π 2 −π 2 |γ′(θ)|dθ = 2π . Para esboçar o traço de γ, basta observar que r 2 = cosθ = x r , assim, r 2 = 2x, logo, x2 + y2 = 2x e, portanto, (x −1)2 + y2 = 1. Logo, o traço de γ é uma circunferência de raio 1 centrada no ponto (1,0), percorrida no sentido anti-horário. Esta mesma conclusão pode ser obtida fazendo cálculos semelhantes aos da questão anterior, i.e., considerando x ′(θ), y ′(θ) e d 2 y/d x2.

Question

Questão 2 (2 pontos) Considere a curva γ dada em coordenadas polares pela equação r = 2cosθ, −π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Encontre uma parametrização para γ em...

Ed · Answer

A questão apresenta uma curva em coordenadas polares dada pela equação $ r = 2\cos\theta $ para $ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $. Vamos analisar os passos para encontrar a parametrização, calcular o comprimento e esboçar o traço.

1. **Parametrização**: 
   A parametrização em coordenadas cartesianas é dada por:
   $$
   x = r \cos\theta = 2\cos^2\theta
   $$
   $$
   y = r \sin\theta = 2\cos\theta \sin\theta = \sin(2\theta)
   $$
   Portanto, a parametrização da curva $ \gamma $ é:
   $$
   \gamma(\theta) = (2\cos^2\theta, \sin(2\theta)), \quad -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
   $$

2. **Cálculo do comprimento**:
   A derivada da parametrização é:
   $$
   \gamma'(\theta) = \left(-4\cos\theta\sin\theta, 2\cos(2\theta)\right)
   $$
   O módulo da derivada é:
   $$
   |\gamma'(\theta)| = \sqrt{(-4\cos\theta\sin\theta)^2 + (2\cos(2\theta))^2} = 2
   $$
   O comprimento da curva é dado por:
   $$
   L = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\gamma'(\theta)| d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2 d\theta = 2\pi
   $$

3. **Esboço do traço**:
   A equação em coordenadas cartesianas pode ser obtida a partir da relação $ r^2 = 2x $, que se transforma em:
   $$
   x^2 + y^2 = 2x \implies (x - 1)^2 + y^2 = 1
   $$
   Isso representa uma circunferência de raio 1 centrada no ponto (1, 0), percorrida no sentido anti-horário.

Portanto, a resposta final é que a parametrização da curva é $ \gamma(\theta) = (2\cos^2\theta, \sin(2\theta)) $, o comprimento é $ 2\pi $, e o traço é uma circunferência de raio 1 centrada em (1, 0).

Cálculo

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