determine o ponto critico da função f(x,y)=x2+4xy+y2−4x+16y+3 resolvendo o sistema fx = 0 e fy = 0

Para determinar o ponto crítico da função \( f(x,y) = x^2 + 4xy + y^2 - 4x + 16y + 3 \), precisamos calcular as derivadas parciais \( f_x \) e \( f_y \) e igualá-las a zero. 1. Calcule \( f_x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 4y - 4 \] 2. Calcule \( f_y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 4x + 2y + 16 \] 3. Iguale as derivadas a zero: \[ 2x + 4y - 4 = 0 \quad (1) \] \[ 4x + 2y + 16 = 0 \quad (2) \] 4. Resolva o sistema de equações: Da equação (1): \[ 2x + 4y = 4 \implies x + 2y = 2 \implies x = 2 - 2y \quad (3) \] Substitua (3) na equação (2): \[ 4(2 - 2y) + 2y + 16 = 0 \] \[ 8 - 8y + 2y + 16 = 0 \] \[ 24 - 6y = 0 \implies 6y = 24 \implies y = 4 \] Agora, substitua \( y = 4 \) na equação (3): \[ x = 2 - 2(4) = 2 - 8 = -6 \] 5. Ponto crítico: O ponto crítico é \( (-6, 4) \). Portanto, o ponto crítico da função é \( (-6, 4) \).