Determine a integral definida: \(\int_0^2 (x^3 + 3x) \, dx\). a) 4 b) 6 c) 8 d) 10

Para resolver a integral definida \(\int_0^2 (x^3 + 3x) \, dx\), vamos primeiro calcular a integral indefinida da função \(x^3 + 3x\). 1. Calcular a integral indefinida: \[ \int (x^3 + 3x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + C \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 2: \[ \int_0^2 (x^3 + 3x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^2 \] 3. Substituir os limites: - Para \(x = 2\): \[ \frac{2^4}{4} + \frac{3(2^2)}{2} = \frac{16}{4} + \frac{3 \cdot 4}{2} = 4 + 6 = 10 \] - Para \(x = 0\): \[ \frac{0^4}{4} + \frac{3(0^2)}{2} = 0 + 0 = 0 \] 4. Subtrair os resultados: \[ 10 - 0 = 10 \] Portanto, o valor da integral definida \(\int_0^2 (x^3 + 3x) \, dx\) é 10. A alternativa correta é: d) 10.