Para determinar se os conjuntos são abertos em \( \mathbb{R}^2 \), precisamos entender o que significa um conjunto ser aberto. Um conjunto é considerado aberto se, para cada ponto dentro dele, existe uma vizinhança (ou bola) que também está completamente contida no conjunto. Vamos analisar cada um dos conjuntos: (a) \( A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1\} \) Este conjunto representa o interior de um círculo de raio 1. Como todos os pontos dentro do círculo têm uma vizinhança que também está dentro do círculo, \( A \) é um conjunto aberto. (b) \( B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 1 \text{ e } 1 < y < 3\} \) Este conjunto representa um segmento de reta vertical em \( x = 1 \) entre \( y = 1 \) e \( y = 3 \). Como não existe uma vizinhança em torno dos pontos desse segmento que esteja completamente contida em \( B \), \( B \) não é um conjunto aberto. (c) \( C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 \text{ e } x + y > 3\} \) O primeiro componente \( x^2 + y^2 \leq 1 \) inclui a borda do círculo, o que significa que não é aberto. Portanto, \( C \) não é um conjunto aberto. (d) \( D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 3 \text{ e } x^2 + y^2 < 16\} \) O primeiro componente \( x + y > 3 \) é uma região acima da reta \( x + y = 3 \), que é aberta. O segundo componente \( x^2 + y^2 < 16 \) representa o interior de um círculo de raio 4, que também é aberto. A interseção dessas duas regiões é aberta, então \( D \) é um conjunto aberto. Resumindo: - \( A \) é aberto. - \( B \) não é aberto. - \( C \) não é aberto. - \( D \) é aberto. Portanto, os conjuntos que são abertos em \( \mathbb{R}^2 \) são \( A \) e \( D \).