Grátis: 2. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. (a) A = { (x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1 } (b) A = { (x, y) ∈ R2/x, y ∈ Z} (c) A =...

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2. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.

(a) A =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1
}

(b) A =
{
(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Z}

(c) A =
{(
1/n,
1/n ∈ N
}

(d) A =
{
(x, y) ∈ R2/x+ y ≥ 1
}

(e) A =
{
(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 < y < 2
}

(f) A =
{
(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Q
}

Aprendendo com Desafios

ano passado

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C2 Lista de Exercícios Funções de varias variáveis - limites e derivadas

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Para determinar o conjunto dos pontos de acumulação de cada um dos conjuntos dados, vamos analisar cada alternativa: (a) \( A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1\} \) Este conjunto representa o interior de um círculo de raio 1. Os pontos de acumulação são todos os pontos do círculo, ou seja, \( \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1\} \). (b) \( A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x, y \in \mathbb{Z}\} \) Este conjunto é discreto, consistindo apenas de pontos inteiros. Não há pontos de acumulação, pois não existem pontos próximos a esses pontos inteiros. (c) \( A = \{(1/n, 1/n) \mid n \in \mathbb{N}\} \) Os pontos se aproximam do ponto (0, 0) conforme \( n \) aumenta. Portanto, o ponto de acumulação é (0, 0). (d) \( A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y \geq 1\} \) Este conjunto inclui todos os pontos acima da reta \( x + y = 1 \). Os pontos de acumulação são todos os pontos na região, incluindo a reta. (e) \( A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 1 \text{ e } 1 < y < 2\} \) Este conjunto é um segmento vertical entre \( y = 1 \) e \( y = 2 \) quando \( x = 1 \). Os pontos de acumulação são todos os pontos do segmento, incluindo as extremidades. (f) \( A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x, y \in \mathbb{Q}\} \) Este conjunto é denso em \( \mathbb{R}^2 \), então todos os pontos em \( \mathbb{R}^2 \) são pontos de acumulação. Resumindo: - (a) pontos de acumulação: círculo fechado. - (b) não há pontos de acumulação. - (c) ponto de acumulação: (0, 0). - (d) pontos de acumulação: todos os pontos na região. - (e) pontos de acumulação: todos os pontos do segmento. - (f) todos os pontos em \( \mathbb{R}^2 \) são pontos de acumulação. Se precisar de mais detalhes sobre um conjunto específico, é só avisar!

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A temperatura de T (x, y) graus cent́ıgrados em cada ponto (x, y) de uma chapa constiúída de metal não varia com o tempo. Um besouro atravessando a chapa está em (x, y) = (t2+1, 3t) no instante t. Assim, a temperatura em cada instante é z(t) = T (t2 + 1, 3t). A temperatura tem as propriedades: T (5, 6) = 40, Tx(5, 6) = 4, Ty(5, 6) = −2. Qual a taxa de variação desta temperatura em relação ao tempo no instante t = 2?

A voltagem V em um circuito elétrico simples está decrescendo devagar à medida que a bateria se descarrega. A resistência R está aumentando devagar com o aumento de calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = RI, para achar como a corrente I está variando no momento em que R = 400Ω, I = 0, 08A, dV/dt = −0, 01V/s e dR/dt = 0, 03Ω/s.

Uma função é dita homogênea de grau n se satisfaz a equação f(tx, ty) = tn f(x, y) para todo valor de t, onde n é um inteiro positivo e f tem as segundas derivadas parciais cont́ınuas. (a) Verifique que f(x, y) = x2y + 2xy2 + 5y3 é homogênea de grau 3. (b) Mostre que, se f é homogênea de grau n, então x ∂f/∂x + y ∂f/∂y = n f(x, y)

1. Desenhe os conjuntos abaixo e verifique quais são abertos em R2.

(a) A =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1
}

(b) B =
{
(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 < y < 3
}
(c) C =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1 e x+ y > 3
}

(d) D =
{
(x, y) ∈ R2/x+ y > 3 e x2 + y2 < 16
}

3. Seja F um subconjunto do R2. Dizemos que F é um conjunto fechado se o complementar de F é aberto. Uma outra maneira de caracterizar um conjunto fechado é verificar se todos os pontos de fronteira estão contidos em F , isto é, ∂ F ⊂ F. Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados.

(a) C =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1
}

(b) C =
{
(x, y) ∈ R2/x ≥ 0 e y > 0
}

(c) C = φ

(d) C =
{
(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 ≥ y ≥ 3
}

4. Determine a fronteira dos conjuntos dados a seguir.

(a) B =
{
(x, y) ∈ R2/|x| ≤ 1 e |y| ≤ 1
}

(b) A =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1
}

(c) C = R2

(d) D =
{
(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Z
}

6. Encontre o domı́nio de cada uma das funções e represente-o graficamente.

(a) f(x, y) =
√
x+ 2y − 3

(b) f(x, y) = ln(x2 − y − 1)

(c) f(x, y) =
1/x+ y − 3

(d) f(x, y) =
√
x y

(e) f(x, y) =
√
x− y ln(x+ y)

(f) f(x, y) =
√
16− x2 − y2 +
√
x2 + y2 − 4

7. Esboce o gráfico das regiões abaixo:

(a) z = 3

(b) 6x+ 3y − 4z = 12

(c) 4x2 + 9y2 + z2 = 36

(d) 4x2 + 9y2 − z2 = 36

(e) x2 = y2 − z2

(f)
x2/36 + z2/25 = 4y

(g)
x2/36 − z2/25 = 9y

(h) 4x2 − y2 + 2z2 + 4 = 0

(i) y2 + 4z2 = 4

(j) z = x2

(k) z =
√
1− x2

(l) z = 1/x2 + y2

8. Calcule o limite dado:

(a) lim
(x,y)→(2,3)
(3x2 + xy − 2y2)

(b) lim
(x,y)→(2,−1)
3x− 2y/x+ 4y

(c) lim
(x,y)→(0,1)
x4 − (y − 1)4/x2 + (y − 1)2

(d) lim
(x,y)→(ln 3,ln 2)
ex−y

(e) lim
(x,y)→(2,2)
tg−1 y/x

(f) lim
(x,y)→(4,2)
√
1/3x− 4y

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1. Desenhe os conjuntos abaixo e verifique quais são abertos em R2.(a) A ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1}(b) B ={(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 < y < 3}(c) C ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1 e x+ y > 3}(d) D ={(x, y) ∈ R2/x+ y > 3 e x2 + y2 < 16}

4. Determine a fronteira dos conjuntos dados a seguir.(a) B ={(x, y) ∈ R2/|x| ≤ 1 e |y| ≤ 1}(b) A ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1}(c) C = R2(d) D ={(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Z}

6. Encontre o domı́nio de cada uma das funções e represente-o graficamente.(a) f(x, y) =√x+ 2y − 3(b) f(x, y) = ln(x2 − y − 1)(c) f(x, y) =1/x+ y − 3(d) f(x, y) =√x y(e) f(x, y) =√x− y ln(x+ y)(f) f(x, y) =√16− x2 − y2 +√x2 + y2 − 4

7. Esboce o gráfico das regiões abaixo:(a) z = 3(b) 6x+ 3y − 4z = 12(c) 4x2 + 9y2 + z2 = 36(d) 4x2 + 9y2 − z2 = 36(e) x2 = y2 − z2(f)x2/36 + z2/25 = 4y(g)x2/36 − z2/25 = 9y(h) 4x2 − y2 + 2z2 + 4 = 0(i) y2 + 4z2 = 4(j) z = x2(k) z =√1− x2(l) z = 1/x2 + y2

8. Calcule o limite dado:(a) lim(x,y)→(2,3)(3x2 + xy − 2y2)(b) lim(x,y)→(2,−1)3x− 2y/x+ 4y(c) lim(x,y)→(0,1)x4 − (y − 1)4/x2 + (y − 1)2(d) lim(x,y)→(ln 3,ln 2)ex−y(e) lim(x,y)→(2,2)tg−1 y/x(f) lim(x,y)→(4,2)√1/3x− 4y

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1. Desenhe os conjuntos abaixo e verifique quais são abertos em R2.

(a) A =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1
}

(b) B =
{
(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 < y < 3
}
(c) C =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1 e x+ y > 3
}

(d) D =
{
(x, y) ∈ R2/x+ y > 3 e x2 + y2 < 16
}

4. Determine a fronteira dos conjuntos dados a seguir.

(a) B =
{
(x, y) ∈ R2/|x| ≤ 1 e |y| ≤ 1
}

(b) A =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1
}

(c) C = R2

(d) D =
{
(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Z
}

6. Encontre o domı́nio de cada uma das funções e represente-o graficamente.

(a) f(x, y) =
√
x+ 2y − 3

(b) f(x, y) = ln(x2 − y − 1)

(c) f(x, y) =
1/x+ y − 3

(d) f(x, y) =
√
x y

(e) f(x, y) =
√
x− y ln(x+ y)

(f) f(x, y) =
√
16− x2 − y2 +
√
x2 + y2 − 4

8. Calcule o limite dado:

(a) lim
(x,y)→(2,3)
(3x2 + xy − 2y2)

(b) lim
(x,y)→(2,−1)
3x− 2y/x+ 4y

(c) lim
(x,y)→(0,1)
x4 − (y − 1)4/x2 + (y − 1)2

(d) lim
(x,y)→(ln 3,ln 2)
ex−y

(e) lim
(x,y)→(2,2)
tg−1 y/x

(f) lim
(x,y)→(4,2)
√
1/3x− 4y