Problema: O que é \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)? A) 0 B) 1 C) 2 D) \( \infty \)

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital ou a propriedade do limite da tangente. Sabemos que \( \tan(x) \) se aproxima de \( x \) quando \( x \) se aproxima de 0. Portanto, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} \cdot 2 \] Como \( \tan(2x) \) se aproxima de \( 2x \) quando \( x \) se aproxima de 0, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} = 1 \] Assim, o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 1 \cdot 2 = 2 \] Portanto, a resposta correta é: C) 2.