Para encontrar o valor de \( \frac{d^2}{dx^2}(e^{3x}\sin(2e^{3x})) \), precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. 1. Primeira Derivada: Usamos a regra do produto: \[ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u'v + uv' \] onde \( u = e^{3x} \) e \( v = \sin(2e^{3x}) \). - Derivada de \( u \): \[ u' = 3e^{3x} \] - Derivada de \( v \) (usando a regra da cadeia): \[ v' = \cos(2e^{3x}) \cdot (2e^{3x}) \cdot 3 = 6e^{3x}\cos(2e^{3x}) \] Agora, aplicando a regra do produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{3x}\sin(2e^{3x})) = 3e^{3x}\sin(2e^{3x}) + e^{3x}(6e^{3x}\cos(2e^{3x})) \] Simplificando: \[ = 3e^{3x}\sin(2e^{3x}) + 6e^{6x}\cos(2e^{3x}) \] 2. Segunda Derivada: Agora, precisamos derivar novamente: \[ \frac{d^2}{dx^2}(e^{3x}\sin(2e^{3x})) = \frac{d}{dx}(3e^{3x}\sin(2e^{3x}) + 6e^{6x}\cos(2e^{3x})) \] Aplicando a regra do produto novamente para cada termo: - Para \( 3e^{3x}\sin(2e^{3x}) \): \[ = 3(3e^{3x}\sin(2e^{3x}) + 6e^{6x}\cos(2e^{3x})) \] - Para \( 6e^{6x}\cos(2e^{3x}) \): \[ = 6(6e^{6x}\cos(2e^{3x}) - 12e^{6x}\sin(2e^{3x})) \] Juntando tudo, obtemos: \[ = 9e^{3x}\sin(2e^{3x}) + 12e^{6x}\cos(2e^{3x}) \] Portanto, a resposta correta é a alternativa A: \( 9e^{3x}\sin(2e^{3x}) + 12e^{6x}\cos(2e^{3x}) \).