Para provar que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é equidistante dos três vértices, vamos considerar o triângulo com vértices \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \) e \( C(0, b) \). 1. Encontrar o ponto médio da hipotenusa: A hipotenusa é o segmento \( BC \). O ponto médio \( M \) de \( BC \) é dado por: \[ M = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) \] 2. Calcular as distâncias de \( M \) aos vértices: - Distância de \( M \) a \( A \): \[ d(M, A) = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{b}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} \] - Distância de \( M \) a \( B \): \[ d(M, B) = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - a \right)^2 + \left( \frac{b}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\left( -\frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{b}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} \] - Distância de \( M \) a \( C \): \[ d(M, C) = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{b}{2} - b \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( -\frac{b}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} \] 3. Conclusão: As distâncias \( d(M, A) \), \( d(M, B) \) e \( d(M, C) \) são todas iguais a \( \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} \). Portanto, o ponto médio \( M \) da hipotenusa é equidistante dos três vértices \( A \), \( B \) e \( C \). Assim, provamos que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é equidistante dos três vértices.