Para resolver a questão, vamos calcular as variações \(\Delta z\) e \(dz\) passo a passo. 1. Cálculo de \(\Delta z\): \[ z = 5x^2 + y^2 \] Primeiro, calculamos \(z\) nos dois pontos: - Para \((3, -1)\): \[ z(3, -1) = 5(3^2) + (-1)^2 = 5(9) + 1 = 45 + 1 = 46 \] - Para \((2.96, -0.95)\): \[ z(2.96, -0.95) = 5(2.96^2) + (-0.95)^2 = 5(8.7616) + 0.9025 \approx 43.808 + 0.9025 \approx 44.7105 \] Agora, calculamos \(\Delta z\): \[ \Delta z = z(2.96, -0.95) - z(3, -1) = 44.7105 - 46 = -1.2895 \] 2. Cálculo de \(dz\): Para calcular \(dz\), precisamos das derivadas parciais de \(z\): - Derivada parcial em relação a \(x\): \[ z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 10x \] - Derivada parcial em relação a \(y\): \[ z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 2y \] Agora, avaliamos essas derivadas no ponto \((3, -1)\): \[ z_x(3, -1) = 10(3) = 30 \] \[ z_y(3, -1) = 2(-1) = -2 \] Agora, calculamos \(dx\) e \(dy\): \[ dx = 2.96 - 3 = -0.04 \] \[ dy = -0.95 - (-1) = 0.05 \] Finalmente, substituímos na fórmula de \(dz\): \[ dz = z_x(3, -1) \cdot dx + z_y(3, -1) \cdot dy = 30(-0.04) + (-2)(0.05) = -1.2 - 0.1 = -1.3 \] 3. Comparação: - \(\Delta z \approx -1.2895\) - \(dz \approx -1.3\) Os valores de \(\Delta z\) e \(dz\) são bastante próximos, o que indica que a aproximação linear é razoável para essa variação.