Para determinar qual equação diferencial tem como solução a função \( y = e^{-2t} \), precisamos calcular as derivadas dessa função e substituí-las nas opções dadas. 1. Primeira derivada: \[ y' = -2e^{-2t} \] 2. Segunda derivada: \[ y'' = 4e^{-2t} \] Agora, vamos substituir \( y \), \( y' \) e \( y'' \) nas opções: a) \( 3y'' - 2y' + 6y = 0 \) \[ 3(4e^{-2t}) - 2(-2e^{-2t}) + 6(e^{-2t}) = 12e^{-2t} + 4e^{-2t} + 6e^{-2t} = 22e^{-2t} \neq 0 \] b) \( y'' - 2y' + 3y = 0 \) \[ 4e^{-2t} - 2(-2e^{-2t}) + 3(e^{-2t}) = 4e^{-2t} + 4e^{-2t} + 3e^{-2t} = 11e^{-2t} \neq 0 \] c) \( y'' - 2y' - 8y = 0 \) \[ 4e^{-2t} - 2(-2e^{-2t}) - 8(e^{-2t}) = 4e^{-2t} + 4e^{-2t} - 8e^{-2t} = 0 \] d) \( y'' + 2y' + 6y = 0 \) \[ 4e^{-2t} + 2(-2e^{-2t}) + 6(e^{-2t}) = 4e^{-2t} - 4e^{-2t} + 6e^{-2t} = 6e^{-2t} \neq 0 \] e) \( y'' + 2y' + 3y = 0 \) \[ 4e^{-2t} + 2(-2e^{-2t}) + 3(e^{-2t}) = 4e^{-2t} - 4e^{-2t} + 3e^{-2t} = 3e^{-2t} \neq 0 \] A única equação que resulta em zero é a opção c) \( y'' - 2y' - 8y = 0 \). Portanto, a resposta correta é: c).