Para calcular a integral indefinida da função \( \int (3x^2 - 2x + 8)e^x \, dx \), podemos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \( u = 3x^2 - 2x + 8 \) (o que vamos derivar) - \( dv = e^x \, dx \) (o que vamos integrar) Agora, precisamos calcular \( du \) e \( v \): 1. Derivando \( u \): \[ du = (6x - 2) \, dx \] 2. Integrando \( dv \): \[ v = e^x \] Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes: \[ \int (3x^2 - 2x + 8)e^x \, dx = (3x^2 - 2x + 8)e^x - \int e^x (6x - 2) \, dx \] Agora, precisamos calcular a integral \( \int e^x (6x - 2) \, dx \). Podemos novamente usar a integração por partes para essa integral. Vamos escolher: - \( u = 6x - 2 \) - \( dv = e^x \, dx \) Derivando e integrando: 1. \( du = 6 \, dx \) 2. \( v = e^x \) Aplicando a fórmula novamente: \[ \int (6x - 2)e^x \, dx = (6x - 2)e^x - \int 6e^x \, dx \] A integral \( \int 6e^x \, dx = 6e^x \). Portanto, temos: \[ \int (6x - 2)e^x \, dx = (6x - 2)e^x - 6e^x \] Substituindo de volta na primeira integral: \[ \int (3x^2 - 2x + 8)e^x \, dx = (3x^2 - 2x + 8)e^x - \left[(6x - 2)e^x - 6e^x\right] \] Simplificando: \[ = (3x^2 - 2x + 8)e^x - (6x - 2)e^x + 6e^x \] \[ = (3x^2 - 2x + 8 - 6x + 2 + 6)e^x \] \[ = (3x^2 - 8x + 16)e^x + C \] Onde \( C \) é a constante de integração. Portanto, a integral indefinida é: \[ \int (3x^2 - 2x + 8)e^x \, dx = (3x^2 - 8x + 16)e^x + C \]