Para resolver a equação diferencial dada \( \frac{dy}{dx} = xy - 5x \), podemos reescrevê-la como: \[ \frac{dy}{dx} = x(y - 5) \] Isso sugere que podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y - 5} = x \, dx \] Agora, integramos ambos os lados: \[ \int \frac{dy}{y - 5} = \int x \, dx \] A integral do lado esquerdo é \( \ln|y - 5| \) e a do lado direito é \( \frac{x^2}{2} + C \), onde \( C \) é a constante de integração. Assim, temos: \[ \ln|y - 5| = \frac{x^2}{2} + C \] Exponentiando ambos os lados, obtemos: \[ |y - 5| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C e^{\frac{x^2}{2}} \] Podemos substituir \( e^C \) por uma nova constante \( K \): \[ y - 5 = K e^{\frac{x^2}{2}} \] Portanto, a solução geral é: \[ y = 5 + K e^{\frac{x^2}{2}} \] Agora, usando a condição inicial \( y(0) = 2 \): \[ 2 = 5 + K e^{0} \implies 2 = 5 + K \implies K = 2 - 5 = -3 \] Substituindo \( K \) na solução geral, temos: \[ y = 5 - 3 e^{\frac{x^2}{2}} \] Assim, a solução com os valores iniciais é: b. \( y = 5 - 3 e^{\frac{x^2}{2}} \).