Para encontrar a taxa de variação do potencial elétrico \( V(x, y) = 6y^3 - 2xy \) no ponto \( P(1, 2) \) na direção do vetor unitário \( \mathbf{u} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular as derivadas parciais de \( V \): - \( V_x = \frac{\partial V}{\partial x} = -2y \) - \( V_y = \frac{\partial V}{\partial y} = 18y^2 - 2x \) 2. Avaliar as derivadas parciais no ponto \( P(1, 2) \): - \( V_x(1, 2) = -2(2) = -4 \) - \( V_y(1, 2) = 18(2^2) - 2(1) = 72 - 2 = 70 \) 3. Formar o gradiente \( \nabla V \): - \( \nabla V(1, 2) = (V_x(1, 2), V_y(1, 2)) = (-4, 70) \) 4. Calcular a derivada direcional: - A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} V \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} V = \nabla V \cdot \mathbf{u} = (-4, 70) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] - Calculando o produto escalar: \[ D_{\mathbf{u}} V = -4 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 70 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2} + 35\sqrt{2} = 37\sqrt{2} \] Portanto, a taxa de variação do potencial elétrico em \( P(1, 2) \) na direção do vetor unitário \( \mathbf{u} \) é \( 37\sqrt{2} \).