Para resolver a desigualdade \((x− 2)(x− 3) ≥ (x− 1)^2\), vamos seguir os passos: 1. Expandir ambos os lados: - Lado esquerdo: \((x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6\) - Lado direito: \((x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\) 2. Reescrever a desigualdade: \[ x^2 - 5x + 6 ≥ x^2 - 2x + 1 \] 3. Subtrair \(x^2\) de ambos os lados: \[ -5x + 6 ≥ -2x + 1 \] 4. Isolar os termos com \(x\): \[ -5x + 2x ≥ 1 - 6 \] \[ -3x ≥ -5 \] 5. Dividir ambos os lados por -3 (lembrando que a desigualdade inverte): \[ x ≤ \frac{5}{3} \] 6. Analisar os pontos críticos: - Os pontos críticos são \(x = 2\) e \(x = 3\) (onde a expressão muda de sinal). - Precisamos verificar os intervalos: \( (-\infty, 2) \), \( (2, 3) \) e \( (3, +\infty) \). 7. Testar os intervalos: - Para \(x < 2\) (por exemplo, \(x = 0\)): \((0 - 2)(0 - 3) = 6\) e \((0 - 1)^2 = 1\) → \(6 ≥ 1\) (verdadeiro). - Para \(2 < x < 3\) (por exemplo, \(x = 2.5\)): \((2.5 - 2)(2.5 - 3) = -0.25\) e \((2.5 - 1)^2 = 2.25\) → \(-0.25 ≥ 2.25\) (falso). - Para \(x > 3\) (por exemplo, \(x = 4\)): \((4 - 2)(4 - 3) = 2\) e \((4 - 1)^2 = 9\) → \(2 ≥ 9\) (falso). 8. Conclusão: - A solução da desigualdade é \(x \in (-\infty, 2] \). Portanto, o conjunto de todos os valores de \(x \in \mathbb{R}\) que satisfazem a desigualdade é \(x \leq 2\).