Seja uma superfície parametrizar por j(u,v) = (v cos u, v sen u, 1 - v^2) com 0<= u <= 2pi e v^3 = 0. Determine o vetor normal a S em j(0,1).

Para analisar a superfície parametrizada por \( \mathbf{j}(u,v) = (v \cos u, v \sin u, 1 - v^2) \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Identificação dos parâmetros: Aqui, \( u \) e \( v \) são os parâmetros que definem a superfície. O parâmetro \( u \) varia tipicamente de \( 0 \) a \( 2\pi \) e \( v \) pode variar em um intervalo que você determinar, dependendo do contexto da superfície. 2. Cálculo dos vetores tangentes: Para entender a geometria da superfície, calcule os vetores tangentes \( \mathbf{j}_u \) e \( \mathbf{j}_v \): - \( \mathbf{j}_u = \frac{\partial \mathbf{j}}{\partial u} = (-v \sin u, v \cos u, 0) \) - \( \mathbf{j}_v = \frac{\partial \mathbf{j}}{\partial v} = (\cos u, \sin u, -2v) \) 3. Produto vetorial: O produto vetorial \( \mathbf{j}_u \times \mathbf{j}_v \) fornece o vetor normal à superfície. 4. Análise da superfície: A partir da parametrização, você pode analisar características como curvatura, interseções e projeções. Se precisar de mais detalhes sobre algum desses passos, é só avisar!