Questão: Qual é a integral definida da função f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1 no intervalo de 0 a 2? a) 25 b) 29 c) 33 d) 37

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1 \) no intervalo de 0 a 2, precisamos primeiro encontrar a antiderivada da função. 1. Encontrar a antiderivada: \[ F(x) = \int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 1) \, dx = \frac{2}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - \frac{4}{2}x^2 + x + C \] \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 2x^2 + x + C \] 2. Calcular a integral definida de \( F(x) \) de 0 a 2: \[ \int_0^2 (2x^3 + 3x^2 - 4x + 1) \, dx = F(2) - F(0) \] 3. Calcular \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{1}{2}(2^4) + (2^3) - 2(2^2) + 2 \] \[ = \frac{1}{2}(16) + 8 - 2(4) + 2 \] \[ = 8 + 8 - 8 + 2 = 10 \] 4. Calcular \( F(0) \): \[ F(0) = \frac{1}{2}(0^4) + (0^3) - 2(0^2) + 0 = 0 \] 5. Resultado da integral definida: \[ \int_0^2 (2x^3 + 3x^2 - 4x + 1) \, dx = F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10 \] Parece que houve um erro na análise das opções, pois o resultado não está entre as alternativas. Você pode verificar os cálculos ou as opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!